CPF

Você já pensou como o CPF é formulado? Por que há dois números como dígitos verificadores após 9 números diversos. Será que há alguma relação desses nove números com os dois últimos? Como fazer para descobrir o número de seu CPF caso tenha um dígito rasurado? Essas são questões bastante interessantes de se pensar.
Aprendi isso há pouco tempo em minhas aulas de fundamentos de álgebra e a pedido do meu companheiro de matemática Juliano, coloco no blog.
Vamos supor que seus dois últimos números de seu CPF tenha sido apagado e você precisa fazer uma compra online urgente e só consiga ver os 9 primeiros que são: 987654321. Como fazer para saber seus dois últimos números?
Não se desespere. Para isso, também existe nossa grande amiga matemática.

Para achar seus dois últimos dígitos, basta fazer o algoritmo (para os que desconhecem o termo, um algoritmo é a receita do bolo que você deve seguir para chegar ao resultado que se deseja) abaixo:

Pegue o primeiro dígito e multiplique por 1, o segundo por 2, o terceiro por 3 e assim por diante. O último dígito nessa ordem será multiplicado por 9 como é fácil perceber e some o resultado dessa multiplicação. Se ainda não entendeu, observe o esquema abaixo:

CPF: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ==> (9 x 1) + (8 x 2) + (7 x 3) + (6 x 4) + (5 x 5) + (4 x 6) + (3 x 7) + (2 x 8) +
+ (1 x 9) (I)
O resultado dessa soma, você divide por 11 ( pois caso não tenha percebido, seu CPF tem 11 dígitos) e pega o menor resto inteiro de sua divisão por 11. (se você desconhece o que é o menor resto inteiro, veja esses dois exemplos: menor inteiro de 11,252 é 11 e o menor inteiro de 25,3252 é 25)
No caso acima, a soma de (I) =  165. Logo, 165/11 = 15 e o resto é igual a 0. Como o menor inteiro do resto é 0, o primeiro dígito após o tracinho será 0.
Já temos um dígito descoberto. Mas e para saber o outro?
Simples: Comece agora do segundo dígito do seu CPF e repita o procedimento. Ou seja, seu número agora para o algoritmo será:
CPF: 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Repetindo o algoritmo temos:
(8 x 1) + (7 x 2) + (6 x 3) + (5 x 4) + (4 x 5) + (3 x 6) + (2 x 7) + (1 x 8) + (0 x 9) (II)
Da soma de (II) temos: 120. Dividindo 120 por 11 temos 10,90909. Como queremos o menor número inteiro, temos 10. Mas o último número tem somente um dígito e achamos dois dígitos. Qual dos dois escolher afinal de contas?
Essa é uma possível razão dos números de CPF terem 11 dígitos. O resto da divisão de qualquer número de por 11 varia somente de 0 a 10 pois por Euclides temos que o maior resto da divisão de um número n é dado por n – 1. Como nosso número n = 11, o maior resto possível será 10.
Dessa forma, basta adimitirmos a seguinte convenção: se o menor inteiro do resto é 10 então o dígito é zero, se for qualquer número de 0 a 9, então é o próprio dígito. No nosso caso, como o menor inteiro do resto foi 10, então o segundo dígito será 0.
Logo, nosso CPF será 987654321-00
Esse procedimento é bastante útil para descobrir os dígitos verificadores. Uma consideração que podemos fazer é que existem mais dígitos 0 como verficadores do que qualquer outro, pois se o menor inteiro do resto for 0, então o dígito será 0, bem como se o menor inteiro do resto for 10 também será 0.
Agora faça o teste com o seu CPF usando o algoritmo acima e veja se funciona. Você verá que o dígito verificador realmente bate.
Você pode perguntar: mas e se um número no meio sumir? Podemos achar também, mas para isso será necessário um conhecimento um pouco maior de matemática que envolvem equações diofantinas.
Dessa forma que é calculado o dígito verificador de nosso CPF. Um método criado pela Receita Federal. Assim, ao digitar seu CPF completo, computadorialamente é isso que o programa faz e verifica se o CPF é realmente aquele baseado no dígito verificador do mesmo. Caso o dígito verifcador não bata, o CPF está errado.
Aos que não vêem utilidade alguma na matemática, segue um pequeno exemplo de como ela está presente em algo tão presente me nossas vidas…
Mas uma beleza da matemática…

Fabrício Veliq
18.11.2009 08:08