Sobre o princípio da casa do pombo

Em matemática há um teorema muito legal que chama teorema da casa do pombo ou se quisermos dar um nome mais pomposo, podemos chamar de princípio das gavetas de Dirichet.

Dirichlet foi um matemático nascido em 13 de fevereiro de 1805 em Düren e morreu 05 de maio de 1859 em Göttingen. Foi um grande matemático com várias grandes contribuições para a área. Propôs a definição moderna de função que é a que usamos hoje:

“Se uma variável y está tão relacionada a uma variável x que, sempre que um valor numérico é atribuído a x, existe uma regra segunda a qual  um valor único de y é determinado, então y é dito ser uma função da variável independente de x.”

Voltando ao teorema, ele é bem simples de ser enunciado. Na sua forma mais simples, o teorema diz:

Se n + 1 pombos voam em direção a n casas e todos os pombos entram em uma casa, haverá pelo menos uma casa com pelo menos dois pombos.

Esse é um teorema matemático que garante a existência de alguma coisa e geralmente estudamos esse princípio em análise combinatória.

Aparentemente não parece ter grande importância, mas alguns problemas que aparentemente são difíceis de resolver, podem ser resolvido usando esse simples princípio

Como exemplo, imagine um quadrado com 2 metro de largura e 2 metros de altura. Desenhe, aleatoriamente, 5 pontos nesse quadrado. Podemos afirmar que a maior distância entre os pontos vale Raiz de 2

Complicado de descobrir a solução? Tente o seguinte:

Divida esse quadrado em 4 quadrados de 1 metro por 1 metro. Pelo princípio da casa dos pombos, podemos dizer que haverá, pelo menos, um desses quadrados que conterá 2 pontos. (considere a casa como os quadrados e os pontos como os pombos e assim teremos 5 pombos para 4 casas).

Como a maior distância entre os lados do quadrado é dada pela diagonal desse quadrado, no quadrado de lados iguais a 1 temos que a diagonal valerá Raiz de 2 (Para isso, basta usar o teorema de Pitágoras. Aos que não lembram dele, é o que diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Algebricamente, a² = b² + c²).

E assim, resolvemos nosso problema usando simplesmente o princípio da casa dos pombos e um pouco de criatividade.

Esse é um simples exemplo de como esse princípio pode ser utilizado. Há vários problemas desse princípio em livros de análise combinatória caso alguém se interesse.

Como tinha muito tempo que não postava algum texto sobre matemática, resolvi postar esse. Afinal isso também são coisas de matemático.. Espero que gostem..

Deixo um problema para os leitores:

Imagine que você possua 6 meias brancas e 6 meias pretas. Pouco antes de você sair, a luz acaba na sua região. Quantas meias você precisa pegar para garantir que pegou meias da mesma cor?

Pensemos…

Fabrício Veliq

16.07.10 – 20:18